Diện tích toàn phần hình trụ
Hình trụ tròn là hình học không gian cơ bản được giới hạn bởi mặt trụ và hai đáy là hai đường tròn có bán kính bằng nhau. Hình trụ tròn hay được tạo ra bằng cách quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định. Giả sử có hình chữ nhật ban đầu là ABCD, CD là một cạnh cố định. Lúc này:
- DA và CB quét nên hai đáy của hình trụ, là hai hình tròn bằng nhau và song song với nhau. Tâm hai đường tròn này lần lượt là D và C.
- Mặt xung quanh của hình trụ sẽ quét bởi cạnh AB. Mỗi vị trí của AB thì được gọi là một đường sinh.
- Các đường sinh thì vuông góc với hai mặt phẳng đáy (tức 2 hình tròn).
- Độ cao của hình trụ hay chính là độ dài của trục hình trụ (cạnh DC) còn gọi là đường sinh.
Diện tích xung quanh hình trụ được tính theo công thức:
Sxq = 2 x π x r x h
Trong đó:
- Sxq: Ký hiệu diện tích xung quanh
- π là hằng số Pi (≈3.14159)
- r là bán kính của hình tròn cơ sở
- h là chiều cao của hình trụ
Diện tích xung quanh và thể tích hình trụChứng minh công thức trên:
Tiến hành cắt hình trụ dọc theo chiều cao từ đáy đến đỉnh, sau đó mở nó ra. Khi này, ta có một hình chữ nhật với chiều dài bằng chu vi của đáy của hình trụ (2 x π x r) với chiều rộng thì bằng chiều cao của hình trụ (h).
Cấu tạo hình trụ
Tức là diện tích xung quanh của hình trụ bằng diện tích của hình chữ nhật. Ta có:
Sxq = Shcn = chiều dài x chiều rộng = 2 x π x r x h (ĐPCM)
Ví dụ minh họa:
Cho hình trụ có bán kính mặt đáy r = 5cm, chiều bao h = 8cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ trên.
Sxq = 2 x π x r x h = 2 x π x 6 x 8 = 80π = 251,33 cm2
Tham khảo: Bảng tính tan của muối
Diện tích toàn phần hình trụ là tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. Công thức tính như sau:
Stp = Sxq + 2 x Sđáy = 2 x π x r x h + 2 x π x r^2 = 2 x π x r x (r +h)
Stp = 2 x π x r x (r +h)
Ví dụ minh họa:
Một hình trụ có đường kính đáy là 8m, chiều cao là 6m. Hãy tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
Ta có: Đường kính là 8m => bán kính r = 8/2 = 4m
Diện tích toàn phần hình trụ là:
Stp = 2 x π x r x (r +h) = 2 x π x 4 x (4 + 6) = 80π = 251.32 m2
Công thức tính diện tích toàn phần hình trụDạng 1: Tính chiều cao của hình trụ
Cách giải: Áp dụng công thức diện tích xung quanh S=2 x π x r x h và thay số liệu để tìm h.
Ví dụ: Cho diện tích xung quanh hình trụ là 94.2cm2 và bán kính đáy r = 3cm. Tính chiều cao h của hình trụ.
Giải: Ta có: S= 94,2=2 x π x 3 x h ⟹ h = 94,2/(6π) ≈ 5cm
Dạng 2: Tính bán kính đáy của hình trụ
Cách giải: Áp dụng công thức S = 2 x π x r x h và thay số liệu để tìm r.
Ví dụ: Cho hình trụ biết Sxq= 125.6cm2 và chiều cao h=4cm. Tính bán kính r của đáy hình trụ.
Giải:
Ta có: 125,6 = 2 x π x r x 4⟹ r = 125,6/(8 x π) ≈ 5cm
Dạng 3: Tính diện tích hình trụ biết đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách giải: Trước hết tính bán kính đáy hình trụ áp dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp rồi tính diện tích:
r=abc/√((a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c))
Ví dụ: Cho hình trụ có chiều cao là 8cm, bán kính đáy r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có các cạnh lần lượt là a = 3cm, b = 4cm, c = 5cm. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
Giải:
Thay a = 3, b = 4, c = 5 vào công thức trên để tìm r
Sau đó, tính Stp = 2 x π x r x (r +h)
Dạng 4: Tính diện tích hình trụ khi biết đáy là đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách giải: Để tính bán kính đường tròn nội tiếp, ta áp dụng công thức sau: r = S/((a+b+c)/2). Sau đó tính diện tích.
Ví dụ: Cho ABC có các cạnh a=3cm,b=4cm,c=5cm và diện tích S=6cm2. Biết đường tròn nội tiếp tam giác này là đáy của hình trụ có chiều cao h là 8cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.
Giải:
Thay số liệu a = 3, b = 4, c = 5 và S= 6 vào công thức để tính r.
Sau khi tìm ra r thì tìm diện tích xung quanh theo công thức: Sxq = 2 x π x r x h
Hình trụ là một trong những hình học không gian phổ biến, và chúng xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống hàng ngày. Dưới đây là một số ứng dụng của hình trụ trong đời sống:
Các ống dẫn và bể chứa
Ống dẫn nước: Các ống nước, ống dẫn khí, ống dẫn dầu thường có dạng hình trụ để thuận tiện trong việc lưu thông các chất lỏng hoặc khí.
Bể chứa nước: Các bể chứa, đặc biệt là bể chứa nước sinh hoạt hoặc công nghiệp, thường có dạng hình trụ để tối ưu hóa thể tích chứa và dễ dàng xây dựng.
Thùng rác công nghiệp
Hình trụ được sử dụng trong thiết kế của nhiều loại thùng rác công nghiệp hoặc thùng chứa chất thải. Hình dạng này giúp tối đa hóa dung tích chứa và dễ dàng xử lý chất thải.
Lọ, chai, và lon đồ uống
Lon nước ngọt, chai sữa, chai nước: Những vật dụng như lon nước, chai nước, hay lọ thủy tinh đều có hình trụ để giúp tiết kiệm không gian trong việc bảo quản, vận chuyển và sử dụng.
Cột điện, cột trụ
Các cột điện hay cột trụ thường có dạng hình trụ để đảm bảo sự vững chắc và khả năng chịu lực tốt, nhất là với các cột điện cao hoặc cột thép trong xây dựng.
Hình dạng của các tòa tháp, nhà cao tầng
Một số tòa nhà cao tầng hoặc tháp, chẳng hạn như Tháp CN Tower ở Canada, được thiết kế có dạng hình trụ ở phần thân chính để tăng cường độ vững chắc và tính thẩm mỹ.
Ống nhòm và kính thiên văn
Ống nhòm và kính thiên văn thường có dạng hình trụ để dễ dàng cầm nắm và sử dụng, đồng thời bảo vệ các bộ phận bên trong không bị hư hại.
Xylanh trong động cơ
Xylanh là một phần quan trọng trong các động cơ của xe cộ (đặc biệt là động cơ ô tô, xe máy) có dạng hình trụ, nơi chứa piston để chuyển động.
Ống đựng giấy vệ sinh
Ống giấy vệ sinh mà chúng ta dùng trong các hộ gia đình cũng có dạng hình trụ, giúp bảo vệ cuộn giấy và dễ dàng sử dụng.
Vận dụng trong ngành công nghiệp thực phẩm
Hình trụ cũng xuất hiện trong các thiết bị chế biến thực phẩm, như các mâm quay, lò nướng có dạng hình trụ để nướng thực phẩm đồng đều.
Kết cấu cầu thang cuốn
Cầu thang cuốn có thể được thiết kế với hình dạng trụ để có thể cuốn lên một cách liên tục mà không gặp trở ngại, giúp tiết kiệm không gian và cung cấp sự tiện lợi.
Máng xối và ống thông gió
Máng xối trên mái nhà, đặc biệt là trong các công trình xây dựng lớn, thường có dạng hình trụ để dẫn nước mưa xuống một cách dễ dàng.
Các ống thông gió trong các hệ thống điều hòa, hệ thống thông gió của các tòa nhà cũng có dạng hình trụ để dễ dàng lắp đặt và thông gió hiệu quả.
Lò quay thịt
Lò quay thịt trong các quán ăn hoặc nhà hàng có dạng hình trụ để giúp quay thịt đều và dễ dàng.
Như vậy, hình trụ xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau và đóng vai trò quan trọng trong nhiều thiết bị và công trình trong cuộc sống hàng ngày.