Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Nói cách khác, nếu ta kẻ một đường thẳng đi qua hai trong ba điểm đó thì điểm còn lại cũng nằm trên đường thẳng ấy.
Ví dụ: Trong hình vẽ trên, các điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng nên ta nói A, B, C thẳng hàng.
3 điểm thẳng hàngĐộc nhất: Qua ba điểm thẳng hàng chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng.
Trật tự: Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta có thể nói điểm B nằm giữa A và C hoặc điểm A nằm giữa B và C, hoặc điểm C nằm giữa A và B.
Độ dài đoạn thẳng: Nếu A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C thì AB + BC = AC.
3 điểm thẳng hàngSử dụng tính chất góc
Cách làm: Chứng minh tổng các góc tạo bởi ba điểm đó bằng 180 độ.
Ví dụ: Cho tam giác ABC là tam giác bất kỳ, có H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Chứng minh A, H, trực tâm G của tam giác ABC thẳng hàng.
Giải: Ta có: góc AHB = góc AHC = 90 độ. Mà G là trực tâm nên AG vuông góc với BC. Do đó, góc AHG = 180 độ. Vậy A, H, G thẳng hàng.
Sử dụng tính chất đường thẳng song song
Cách làm: Chứng minh ba điểm cùng nằm trên hai đường thẳng song song.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh E, O, F thẳng hàng (với O là giao điểm của AC và BD).
Giải: EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên EF // AD và EF = AD/2. Mà AC cũng đi qua O nên E, O, F thẳng hàng.
Sử dụng định lý Ta-let
Cách làm: Áp dụng định lý Ta-let để chứng minh các tỉ số bằng nhau, từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên AB lấy M, trên AC lấy N sao cho AM/AB = AN/AC. Chứng minh M, D, N thẳng hàng.
Giải: Áp dụng định lý Ta-let đảo, ta có MN // BC. Mà AD là phân giác góc BAC nên AD đi qua trung điểm của MN. Vậy M, D, N thẳng hàng.
Sử dụng tiên đề Ơ-clit
Nội dung: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Cách áp dụng: Chứng minh rằng nếu qua một điểm có hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì ba đường thẳng đó trùng nhau. Từ đó suy ra ba điểm cần chứng minh thẳng hàng.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường trung bình DE. Chứng minh D, M, E thẳng hàng (với M là trung điểm BC).
Giải: DE là đường trung bình nên DE // BC. Mà DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC). Vậy D, M, E thẳng hàng theo tiên đề Ơ-clit.
Sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc
Nội dung: Hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì sẽ song song với nhau.
Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh chúng đồng thời cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.
Ví dụ: Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A, có AH là đường cao của tam giác đó. Chứng minh A, H, trực tâm G của tam giác ABC thẳng hàng.
Giải: AH vuông góc với BC, AG vuông góc với BC (vì G là trực tâm). Vậy AH và AG nằm trên 1 đường thẳng, từ đó suy ra A, H, G thẳng hàng.
Sử dụng tính độc nhất của tia phân giác
Nội dung: Một góc chỉ có một tia phân giác.
Cách áp dụng: Chứng minh ba điểm cùng nằm trên tia phân giác của một góc.
Ví dụ: Cho tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A, có H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC. Chứng minh A, H, trung điểm M của BC thẳng hàng.
Giải: AH là đường cao đồng thời là đường trung trực của BC. Vậy ta chứng minh được, AH là tia phân giác của góc CAB. Mà AM cũng là đường trung tuyến nên AM trùng với AH. Suy ra A, H, M thẳng hàng.
Sử dụng tính chất đường trung trực
Nội dung: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng đó.1
Cách áp dụng: Chứng minh ba điểm cùng nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng.
Ví dụ: (Như ví dụ ở tính chất tia phân giác)
Sử dụng phương pháp vectơ
Nội dung: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi các vectơ AB và AC cùng phương.
3 điểm thẳng hàngBài tập 1
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC tại D. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng D, H, O thẳng hàng.
Bài tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng.
Bài tập 3
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành và ba điểm H, G, O thẳng hàng (với G là trọng tâm tam giác ABC).
Bài tập 4
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt (O) tại D. Chứng minh rằng HD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
Bài tập 5
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt (O) tại E. Chứng minh rằng H, E, D thẳng hàng.
Bài tập 6
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt (O) tại D. Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt (O) tại E. Chứng minh rằng H, D, E thẳng hàng.
Bài tập 7
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường thẳng AC cắt BD tại O. Chứng minh rằng M, O, N thẳng hàng.
Trên đây là một số thông tin về cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Hi vọng các bạn đã có cho mình thông tin hữu ích.